Analisi Di Fourier
Questa parte � stata formulata solamente in
termini applicativi, data l’enorme importanza, come vedremo, che riveste
l’analisi di Fourier nei processi reali .
L’elettrotecnica ci
insegna che se alimento con una tensione costante di V Volt una resistenza di R Ohm in
essa scorrer� una corrente A=V/R Amp�re e verr� dissipata una potenza W=V*A Watt.
Se invece di una tensione
costante ho un segnale f(t) che varia in funzione del tempo, la sua potenza istantanea �
proporzionale a f(t) al quadrato .
Se consideriamo un intervallo di
tempo T l’energia � proporzionale all’integrale del quadrato del segnale e la
potenza media al rapporto tra l’energia e il tempo trascorso.
Se il segnale � periodico, la
potenza media dopo un tempo molto lungo � pari alla potenza media su un periodo e quindi
il segnale si comporta ai fini dell’energia come un segnale costante di valore pari
alla radice quadrata della potenza media.
Per questa ragione quando si
misura la tensione di una corrente alternata si preferisce dare il valore efficace Veff
pari a Vpicco diviso radice di 2 . Per esempio una comune presa di corrente domestica
fornisce un segnale sinusoidale a 50Hz e 220 Veff e la potenza dissipata su una resistenza
di R Ohm � la stessa che si avrebbe usando una batteria da 220V .
La situazione si complica molto
se il segnale non � sinusoidale ma ha una forma qualsiasi.
Le strade per calcolare
l’energia e la potenza sono essenzialmente due :
i)trovare la funzione che definisce il segnale e calcolarne la media integrale del quadrato.
ii)vedere il segnale come la somma di un numero finito o infinito di segnali sinusoidali (di cui sappiamo calcolare potenza ed energia) e sommare i vari contributi.
Questo secondo approccio costituisce l’idea base dell’analisi di Fourier.
DOPPIA TRASFORMA :
SIMILITUDINE:
TRASLAZIONE:
MODULAZIONE:
CONVOLUZIONE:
CORRELAZIONE:
DERIVATA DI ORDINE
N: 
Nel settore applicativo
dell’elettromagnetismo � in uso la locuzione "spettro" per indicare la
trasformata di una grandezza rappresentata da una funzione f(x).
In genere la variabile di
partenza x rappresenta un tempo t e quella d’arrivo v una frequenza temporale.
Nella pratica l’uso della
trasformata di Fourier � particolarmente indicata nello studio dei segnali portatori di
informazione.
Distinguiamo tra:
1) segnali periodici
2) segnali non periodici di durata infinita
Quest’ultima categoria di segnali fornisce un modello ai segnali che portano una
informazione, ovviamente in pratica se ne pu� trarre solo una porzione di durata finita.
Nel caso 1) il contributo delle
varie frequenze si pu� calcolare attraverso la Serie di Fourier. Attraverso
quest’ultima si pu� esprimere una funzione periodica come la somma di una frequenza
sinusoidale fondamentale e delle sue armoniche. In alcuni casi le armoniche sono in numero
finito, ma in generale le armoniche sono infinite.
Nel caso 2) il contributo delle
varie frequenze si pu� calcolare attraverso l’Integrale di Fourier .In questo caso
le frequenze in cui viene scomposto il segnale sono tutte quelle possibili e non solo i
multipli della fondamentale. La serie viene sostituita da un integrale e la sequenza delle
ampiezze delle armoniche diviene una funzione detta Trasformata Continua di Fourier :
Un approccio
pratico consiste nel prendere solo un pezzo del segnale campionarlo in un numero finito di
punti e trattarlo come fosse un pezzo un pezzo di un segnale periodico . Esiste infatti
un’altra trasformazione detta Trasformata Discreta di Fourier (DFT) che opera su
vettori di lunghezza finita producendo vettori di lunghezza finita e pu� essere usata per
approssimare numericamente sia le serie che gli integrali di Fourier.
La DFT di un vettore X di n
valori complessi � un vettore Y di n valori complessi definiti come:
Mathematica offre il comando
Fourier che implementa un algoritmo veloce della DFT detto Fast
Fourier Transform (FFT) in modo efficiente.
L’algoritmo per
approssimare lo spettro di potenza di un segnale periodico a valori reali pu� venire
strutturato come segue:
1) il segnale f(x) viene campionato in un intervallo di tempo (0,T] con una frequenza di campionamento r (ovvero i campioni distano tra loro 1/r secondi ) . Conviene scegliere i parametri in modo da avere un numero pari n di campioni;
2) viene calcolata la
DFT del vettore dei campioni e si conservano le prime n/2 componenti (che sono numeri
complessi). Di questi se ne calcola il modulo al quadrato e si moltiplicano i risultati
per 2/n .
Gli n/2 numeri reali ottenuti
rappresentano una approssimazione dello spettro di potenza del segnale di partenza, in
particolare:
Quindi la nostra approssimazione permette di approssimare le potenze del segnale nell’intervallo (0,n/2T)=(0,r/2) con una risoluzione 1/T .
Il programma Analisi di
Fourier � piuttosto lungo, quindi ci limitiamo a darne un breve esempio di funzionamento.
La funzione cos� definita
PWS[f,T,r] calcola lo spettro di potenza della funzione f campionata con frequenza r in
(0,T] .
Facciamo alcuni esempi che si
possono presentare:
1) funzione periodica limitata
in banda con frequenza massima <r/2 e con periodo T.
Prendiamo come esempio una funzione che ha una componente costante di valore 2 V pi� una
componente a frequenza 16 Hz di ampiezza 4V ed una componente a frequenza a 40 Hz di
ampiezza 3 V.
La
potenza � 4+16/2+9/2=16.5 W. Campioniamo per un secondo con frequenza 128 Hz (ovvero con
frequenza doppia rispetto a quella utile di 64 Hz). Si nota che la potenza calcolata con
l’integrale e la
potenza
calcolata con la trasformata di Fourier quasi coincidono e lo spettro � quello voluto.
2) funzione periodica limitata in banda con frequenza massima <r/2 e con periodo sottomultiplo esatto T .
