Sistemi Di
Equazioni Lineari
Teorema di Rouche-Capelli
Supponiamo di assegnare il seguente sistema di m equazioni lineari in n incognite con coefficienti e termini noti appartenenti al campo K
Indichiamo con A e B nell’ordine le seguenti matrici
indicati inoltre
con 
I vettori colonna di A e con b
il vettore colonna di B , poich� il sistema precedentemente scritto pu� essere scritto
nella forma
Esso pu� essere rappresentato in modo pi� espressivo mediante la seguente equazione vettoriale :
Da quest’ultima equazione si rivela subito che la ricerca delle soluzioni del sistema equivale alla ricerca di tutte le possibili rappresentazioni del vettore b rispetto ai vettori:
e , inoltre , precisa che , se
esiste una soluzione del sistema , ossia se il sistema � compatibile , il
vettore b appartiene al sottospazio
di 
generato dai vettori colonna della matrice A
,per cui il numero dei vettori colonna linearmente indipendenti della matrice B coincide
con quello dei vettori colonna linearmente indipendenti di A , cio� il rango di B �
uguale a quello di A.
In breve questo risultato pu�
essere enunciato nella forma seguente : se il sistema � compatibile , le matrici A e B
hanno lo stesso rango .
Inversamente , se A e B hanno lo
stesso rango r , supponiamo che
Siano i vettori colonna
linearmente indipendenti di A ; in caso contrario basta riordinare le incognite del
sistema . In queste condizioni risulta
Altrimenti il rango di B �
r+1 . Pertanto b si rappresenta in modo unico come combinazione lineare dei vettori
Si chiama Rango di una
matrice A il numero dei vettori riga di A linearmente indipendenti , oppure il numero
dei vettori colonna di A linearmente indipendenti , o anche l’ordine massimo delle
matrici quadrate regolari estraibili da A.
Una propriet� caratteristica di
un Automorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita n � la seguente:
Un automorfismo F di uno spazio
vettoriale V di dimensione finita n trasforma ogni sottospazio di V in un sottospazio di V
della stessa dimensione .
Sia S un sottospazio proprio di V di dimensione s < n . Per il teorema che afferma: Se
� una base di uno spazio vettoriale V e
� un insieme di r vettori linearmente indipendenti di V , risulta r <= n .
Possiamo supporre che i primi
s vettori di una base di V siano i vettori di una base di S .
Poich� , come sappiamo , F
trasforma i vettori della base di V in vettori linearmente indipendenti , vuol dire che F
trasforma i vettori della base di S in s vettori linearmente indipendenti , per cui
l’immagine di S in F � un sottospazio di V di dimensione s.
Da questo teorema consegue che
un automorfismo F di uno spazio vettoriale V, essendo una biezione , induce una biezione
anche in ciascun insieme costituito da tutti i sottospazi di V aventi la stessa
dimensione. Pertanto ci pu� essere qualche sottospazio di V , al quale F
associ lo stesso sottospazio ; Un siffatto sottospazio � detto unito in F . In ogni
automorfismo di V esistono sempre almeno 2 sottospazi uniti e precisamente il sottospazio
improprio costituito dal vettore [0] e il sottospazio pure improprio coincidente con V .
Vediamo ora se esistono rette vettoriali di 
unite
in F , cio� rette vettoriali di che
corrispondono ciascuna a se stessa . Per determinare una retta vettoriale siffatta , se
esiste , occorre determinare un vettore non nullo v di
il quale sia trasformato da F in un
vettore di <v> e quindi in un vettore del tipo kv con 
. Un tale vettore se esiste , � chiamato Autovettore (o vettore proprio
o vettore caratteristico) di F e il corrispondente numero reale K � chiamato Autovalore
(o valore proprio oppure valore caratteristico ) di F . In base a quanto detto possiamo
dare la seguente definizione:
Dato un
h-spazio vettoriale , indichiamolo con V, e sia F un automorfismo ; Un vettore 
si dice Autovettore di F se v �
diverso da zero ed esiste uno scalare k appartenente a h tale che F(v)=kv . K �
l’autovalore di f relativo all’autovettore v. Il sottoinsieme di h costituito
dagli autovalori di F � lo spettro di F .
Per cui risultano determinate le
incognite
Ponendo poi 
Si ha una soluzione del sistema che risulta cos� compatibile .
Possono assumere valori a piacere , si hanno in corrispondenza dei valori ben determinati per
Ne segue che il sistema non
ha una soluzione unica.
Pertanto affinch� il sistema
abbia un’unica soluzione , occorre che sia r:=n
I risultati ottenuti sono
riassunti dal T. Di Rouch�-Capelli , il cui enunciato completo � il seguente:
Condizione necessaria e sufficiente affinch� un sistema di m equazioni lineari in n incognite sia compatibile � che il rango della matrice A dei coefficienti delle incognite sia uguale al rango della matrice completa B del sistema .
Ricordiamo che noi per
determinare le soluzioni del sistema usiamo il metodo di Gauss-Jordan .
Per evidenziare
l’importanza di tale teorema diamo ora alcuni esempi della sua applicazione alla
discussione dei sistemi di equazioni lineari che poi riproporremo al computer per mezzo
del programma Maple V Release 5.
eqns:={-x+3*y-5*z=12,y+3*z=3,x-4*y+5*z=-5};
eqns := {-x + 3 y - 5 z = 12, y + 3 z = 3, x - 4 y + 5 z = -5}
with(plots):
implicitplot3d(eqns,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5);
> A:=matrix(3,3,[-1,3,-5,0,1,3,1,-4,5]);
[-1 3 -5]
A := [ 0 1 3]
[ 1 -4 5]
> B:=matrix(3,4,[-1,3,-5,12,0,1,3,3,1,-4,5,-5]);
[-1 3 -5 12]
B := [ 0 1 3 3 ]
[ 1 -4 5 -5 ]
> rank(A);
3
> rank(B);
3
eqns:={-4*x+15*z=2,x+y+5*z=0,2*x-y+z=-2};
eqns := {-4 x + 15 z = 2, x + y + 5 z = 0, 2 x - y + z = -2}
with(plots):
implicitplot3d(eqns,x=-5..5,y=-5..5,z=-5..5);
with(linalg):
A:=matrix(3,3,[-4,0,15,1,1,5,2,-1,1]);
[-4 0 15]
A := [ 1 1 5 ]
[ 2 -1 1 ]
> B:=matrix(3,4,[-4,0,15,2,1,1,5,0,2,-1,1,-2]);
[-4 0 15 2 ]
B := [ 1 1 5 0]
[ 2 -1 1 -2]
> rank(A);
3
> rank(B);
3
