Integrale Superficiale

• I Specie
• II Specie
• Formula di Stokes

  Sia f(x,y,z) una funzione continua nell’aperto A sottoinsieme dello spazio a 3 dimensioni e sia D la superficie regolare (dove per regolare si intende che la superficie sia dotata in ogni punto di un piano tangente che varia con continuit�) definita dalle
seguenti equazioni parametriche:

supponiamo inoltre di attribuire una pagina positiva alla nostra superficie mediante l’orientazione della
normale uscente . Alla superficie regolare si pu� associare la matrice Jacobiana

dove indichiamo con L,M,N i minori complementari di ordine 2 di questa matrice dove si definisce integrale superficiale di f(x,y,z) esteso alla pagina positiva della superficie D , l’espressione

dipendente dall’orientazione di D.Se la superficie non � orientata esplicitamente , si assume 
 
 

I Specie

  Siano f(x,y,z) una funzione continua e  una superficie S il cui piano tangente varia con continuit�.
  L’integrale di superficie di prima specie rappresenta il limite della somma integrale

dove  � l’area dello i-esimo elemento della superficie S e il punto  appartiene a questo elemento; inoltre, il diametro massimo degli elementi della decomposizione di questa superficie tende a zero.
Il valore di questo integrale non dipende dalla scelta del lato della superficie S sulla quale si effettua l’integrazione.
  Se la proiezione sul piano XOY della superficie S � univoca, se cio� ogni retta parallela all’asse OZ interseca la superficie S soltanto in un punto, allora l’integrale di superficie di prima specie corrispondente pu� essere calcolato con la seguente formula

II Specie

  Se P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) sono funzioni continue e se  � la faccia della superficie S, a piano tangente variabile con continuit�, definita dalla direzione della normale n, allora l’integrale di superficie di seconda specie corrispondente si esprime nel modo seguente:

  Passando all’altra faccia della superficie, questo integrale cambia di segno.
  Se la superficie S � data in forma implicita F(x,y,z)=0, i coseni direttori della normale a questa superficie sono definiti dalle formule dove

e la scelta del segno davanti al radicale deve concordare con la faccia della superficie S.
 
 

Formula di Stokes

  Se le funzioni P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) sono derivabili con derivate continue e se C � un contorno chiuso che limita una superficie S a due facce, si ha la formula di Stokes

dove compaiono i coseni direttori della normale alla superficie S ed, inoltre, il verso della normale � definito in maniera tale che la normale percorra il contorno C in senso antiorario (in un sistema di coordinate destrorso).
 

Esercizio