Equazioni Differenziali

• Equazioni differenziali del I ordine
• Equazioni non lineari
• Equazioni lineari

 
    Riguardo un’Equazione Differenziale si definiscono i concetti di:

• Ordine: l’ordine massimo delle derivate in essa presenti
• Soluzione (o Integrale): ogni funzione derivabile con continuit� n volte in I, intervallo dell’asse reale, e che soddisfi all uguaglianza identicamente.

Equazioni differenziali del I ordine

    La forma tipica della pi� generale equazione del 1° ordine

    La quale � scritta in forma normale, ossia risulta immediatamente ed esplicitamente risolubile rispetto alla derivata di ordine massimo.
La soluzione in forma generale di tale equazione sar�

    dove I � un certo intervallo sull’asse reale.
    Si passa ora ad analizzare le due grandi classi di equazioni differenziali del 1° ordine.
 
 

Equazioni non lineari

- A VARIABILI SEPARABILI
    Si presentano in forma normale:

Risoluzione:
    Nell’ipotesi di g(x) diverso da zero, si scrive y’ come rapporto di differenziali della x e della y , ottenendo:

    Nota: facendo l’integrale definito tra un punto (x0,y0),scelto nel campo di continuit� degli integrandi ed il generico punto (x,y) si ottiene una curva integrale per il punto selezionato.

- RICONDUCIBILI A VARIABILI SEPARABILI

OMOGENEE. Nella forma normale si presentano:

Risoluzione:
    Si pone:

    Si deriva poi rispetto a x ambo i membri dell’ultima espressione:

    La quale sostituita nell’equazione di partenza d�:

    che si risolve nel modo gi� visto per le equazioni a variabili separabili.

EQUAZIONI DEL TIPO:

Risoluzione:
    Ponendo:

e derivando rispetto a x si ha:

che sostituita nella prima restituisce

la cui soluzione � analoga a quella a variabili separabili.
 

- EQUAZIONI DI BERNOULLI

Risoluzione:
Si divide l`espressione generale per yⁿ

Si pone quindi:

la quale si risolve come una lineare comune.
 
 

Equazioni lineari

    Questo tipo di equazioni pu� essere espresso in forma normale con:

dove le funzioni a (x) e b (x) si denominano rispettivamente coefficiente e termine noto, nell’ipotesi che siano continue nell’intervallo dell’asse x.
Inoltre viene detta omogenea l’equazione

in relazione alla non omogenea, che � proprio l’equazione generale sopra scritta.
Per la risoluzione di tali equazioni lineari non omogenee ci si avvale dei seguenti teoremi:

TEOREMA 1
L’integrale generale dell’equazione lineare non omogenea � costituito dalla somma di un integrale particolare qualsiasi della non omogenea con l’integrale generale dell’omogenea associata.

TEOREMA 2
Se y1 � soluzione non banale dell’equazione omogenea, ogni altra soluzione di tale equazione � data da cy1, al variare del parametro c.

TEOREMA 3
Se la funzione y1 � soluzione dell’equazione omogenea, allora la funzione

� soluzione dell’equazione non omogenea.
Alla luce di questi teoremi risulta lampante il metodo di risoluzione di tali equazioni, che verr� illustrato secondo una scaletta.

Risoluzione:

• Ricerca dell’integrale generale dell’equazione omogenea

Come � banale osservare trattasi di un’equazione differenziale a variabili separabili e si rimanda perci� a tale argomento.

• Ricerca dell’integrale particolare dell’equazione non omogenea mediante la formula

• "Assemblaggio" della soluzione y(x)=cy1+y0