Integrali Curvilinei
Supponiamo che 
sia una funzione continua
e che 
sia l’equazione di una
curva 
a tangente variabile con
continuit�.
Scegliamo un sistema di
punti 
che dividono la curva 
in archi elementari 
, e consideriamo la somma integrale 
. Il
limite di questa somma per 
e max 
� per definizione, l’integrale curvilineo di prima specie
(ds � il differenziale dell’arco) e si calcola con l’aiuto della formula
.
Nel caso in
cui la curva C sia data in forma parametrica: 
, si ha:
Si considerano anche gli
integrali curvilinei di prima specie delle funzioni di tre variabili 
, prese su una curva spaziale che si calcolano in modo analogo.
L’integrale curvilineo di prima specie non dipende dal verso del cammino
d’integrazione; se la funzione integranda f viene interpretata coma la densit�
lineare della curva d’integrazione C , questo integrale rappresenta la massa della
curva C.
Se 
e 
sono funzioni continue e se
� una curva C a tangente variabile con continuit� quando x varia da
a a b, allora l’integrale curvilineo di seconda specie corrispondente si esprime nel
modo seguente: 
.
Nel caso pi�
generale quando la curva C � data in forma parametrica: 
,
dove t varia da 
a 
, si ha: 
.
Formule analoghe sono valide
per l’integrale curvilineo di seconda specie preso su una curva spaziale.
L’integrale curvilineo di
seconda specie cambia il suo segno quando cambia il verso del cammino d’integrazione.
Nel senso meccanico, questo integrale pu� essere interpretatocome il lavoro della
corrispondente forza variabile 
lungo la curva
d’integrazione C.
Differenziale totale
Se
l’espressione integranda di un certo integrale curvilineo di seconda specie � il
differenziale totale di una certa funzione monodroma 
,
cio� 
, questo integrale curvilineo
non dipende dal cammino d’integrazione e vale la formula di Newton-Leibniz
, (1)
dove 
� il punto iniziale ed 
il punto finale
del cammino d’integrazione. In particolare, se il contorno d’integrazione C �
chiuso, allora 
. (2) Se:
il contorno d’integrazione C si trova completamente nell’interno di un dominio
semplicemente connesso S.
le funzioni P(x,y) e Q(x,y) assieme con le loro derivate parziali del primo ordine sono
continue nel dominio S, allora la condizione necessaria e sufficiente per l’esistenza
di una funzione U � che
l’uguaglianza: 
sia
soddisfatta nel dominio S.
Se le condizioni 1) e 2) non
sono soddifatte, la condizione delle derivate parziali non garantisce l’esistenza di
una funzione monodroma U e le formule (1) e (2) possono essere non valide.
Consideriamo
un campo scalare G(x,y,z) ed una curva regolare T caratterizzata dalle seguenti equazioni
parametriche : 
alla quale
attribuiamo un verso positivo ;indichiamo inoltre con A
e B i suoi estremi e 
e 
i valori del parametro che li generano
nell’ordine.
Si definisce integrale
curvilineo di G esteso alla curva T , con il verso positivo indicato :
W assume il valore 1 se
mentre t si sposta nel verso positivo dell’asse il punto P si muove su T nel verso
positivo fissato altrimenti W assume il valore –1.
Se T non � orientata W =1.
Dato il campo
vettoriale V(x,y,z) che supponiamo essere regolare nel sottoinsieme D dello spazio in 3
dimensioni e sia T la curva descritta dall’equazione parametrica illustrata nel caso
precedente ;
si definisce: 
ossia considerando le equazioni parametriche
