Integrazione Multipla
Una completa e approfondita trattazione dell`integrazione multipla e`
stata affrontata durante il corso di Analisi Matematica 2,per cui il nostro interesse in
questo ambito si incentrera` piuttosto su come affrontare tali integrali attraverso
l`aiuto di programmi e procedure che possano semplificare o meglio risolvere i tanti
problemi di calcolo caratterizzanti l`integrazione multipla.
Riteniamo comunque utile un
breve riepilogo teorico sugli integrali doppi e tripli.
Definizione di integrale doppio su dominio normale T
Sia f(x,y) una
funzione positiva e continua su dominio normale T allora il teorema della misurabilita`
permette di asserire che il sottografico della funzione f(x,y) e` misurabile in T.
Per cui si definisce integrale
doppio di funzione positiva la misura del suo sottografico
T e` detto dominio
base di integrazione e dxdy elemento di misura.
Si definisce integrale doppio
di funzione qualunque la differenza dell`integrale doppio delle due funzioni positive
cosi` definite: 
ponendo dunque: 
=
.
L`integrale doppio cosi`
definito e` additivo,lineare e monotono rispetto l`inclusione.
Dal teorema sulla monotonia
ricaviamo due corollari molto importanti:
il primo teorema della mediaper cui,se f(x,y) e` continua nel dominio normale T dove ammette il minimo assoluto m ed il massimo assoluto M allora si ha:
il secondo teorema
della media per cui se f(x,y) e` continua nel dominio normale T esiste in T un punto
ove risulti 
Sia f(x,y) una
funzione continua nel dominio T normale rispetto l`asse x,definito da
T=
con 
funzioni continue in
[a,b] e tra loro uguali al piu` nei
punti estremi degli intervalli.
Per il calcolo di siffatto
integrale esiste allora il seguente teorema definito come formula di riduzione:
Importantissima
perche` permette di ridurre il calcolo dell`integrale doppio a quello di due semplici
integrali in successione.Ovviamente se il dominio e` normale rispetto l`asse y sussiste
l`analoga forma di riduzione .
Particolarita`:
--funzione pari su dominio pari:consideriamo f(x,y) una funzione ad esempio simmetrica rispetto all`asse y su dominio parimenti simmetrico rispetto l`asse y.In queste condizioni scriveremo:
intendendo con Q la esatta meta` del dominio T e cioe` quella posizionata nel semipiano positivo delle x.
--funzione dispari su dominio pari:in questo caso pur essendo il dominio sempre simmetrico rispetto all`asse y,la funzione e` simmetrica rispetto l`origine.In queste condizioni l`integrale e`nullo.Infatti definito T come la somma di Q+q con Q il dominio posto nel semipiano positivo delle x e con q quello nel semipiano negativo scriveremo:
Cambiamento delle variabili negli integrali doppi
--Caso generale:
Sia assegnato il cambiamento di
variabili rappresentato dall`applicazione regolare
soddisfacente
dunque alle condizioni:
a)vi e` corrispondenza biunivoca tra le coppie (x,y) e (u,v) e al variare (x,y) in T variano (u,v) descrivendo un dominio D nel piano u,v;
b)le equazioni x(u,v),y(u,v) sono di
classe 
c)lo Jacobiano J(u,v) ha rango massimo ovvero detto:
si
abbia 
In queste condizioni sussiste dunque il seguente teorema sul cambiamento delle coordinate negli integrali doppi:
Teorema:assegnata la funzione f(x,y)
sotto le ipotesi poste si ha la
seguente formula di risoluzione:
Spiegazione della formula:
1)esprimere x,y tramite le nuove
variabili 
2)determinare il nuovo dominio
D 
3)esprimere l`elemento d`area in funzione delle nuove variabili
Un caso particolare puo` essere quello delle coordinate polari.Il cambiamento in coordinate polari oltre che facilmente ricavabile dalle formule generali e` particolarmente utilizzato soprattutto nel caso di simmetrie circolari;ecco dunque spiegato l`interesse per tale trattazione.
Ricordando che un punto P puo` essere individuato sul piano x,y oltre che dalle coordinate x e y anche dalla distanza del punto dall`origine,raggio,e dall`angolo che lo stesso forma con l`asse x (anomalia) scriviamo le gia` note relazioni:
con la
formula interessante 
Una considerazione importante riguarda l`elemento di misura:
;
infatti attraverso semplici
calcoli e sfruttando la formula su scritta:
Esteso in maniera gia` nota il concetto di dominio normale alle tre dimensioni passiamo a definire l`integrale triplo ed a riassumerne brevemente le caratteristiche.
Definizione di integrale triplo
Se T e` un
dominio normale di 
ed f(x,y,z) e` una
funzione continua e derivabile si definisce integrale triplo di
f(x,y,z) esteso al dominio T:
il
numero 
e cioe` l`estremo superiore della Griglia coordinata G
costruita all`interno di T e delle costanti 
minoranti f(x,y,z) in Ri del prodotto della misura di ciascun intervallo
rettangolare 
per la costante 
.
Sussiste dunque il seguente
teorema sulla misurabilita` delle funzioni continue:nelle ipotesi fatte ,
dove 
maggiora f(x,y,z) in 
.
L`integrale triplo cosi`
definito e` ancora lineare,additivo ,monotono rispetto l`inclusione.
Formula di risoluzione per l`integrale triplo
Per l`integrale triplo abbiamo due possibili diversi tipi di risoluzioni;una detta per spighe,l`altra detta per fogli:
risoluzione per spighe:
risoluzione per
fogli: 
Passaggio alle coordinate polari (sferiche)
Gia` ci e` noto che un punto
P nello spazio deve essere individuato da tre coordinate che possono essere i seguenti:
-il raggio vettore 
.>0;
-la latitudine 
con 
-la colatitudine 
con 
Le relazioni che legano le coordinate cartesiane a quelle polari sono:
con la
sempre importante relazione 
L`elemento di volume si
ricava dalla matrice J oppure da considerazioni geometriche che danno in definitiva :
dxdydz=
Sono numerosissime le applicazioni con gli integrali multipli:
-volumi di solidi di rotazione;
-area di superfici di rotazione;
-momenti di inerzia;
-centri di massa(baricentri);
Noi affronteremo il calcolo dei
centri di massa e dei momenti di inerzia le applicazioni di gran lunga piu` intressanti e
che piu` si riallacciano a problemi fisici ed ingegneristici.
-Caso di un sistema continuo di punti.
E` assegnato
il dominio D con P suo punto generico.Su D e` definita la funzione 
In modo tale che
indichi
la massa in un dominio infinitesimo di D.Fissata la retta
D(P,r) la distanza P da essa si
definisce Momento assiale del sistema l`integrale:
mentre
l`espressione: 
e` definita come Momento d`ordine h.
Ovviamente a seconda del dominio D avremo diversi tipi di integrali che risolvono il momento:
-integrale ordinario se D e` un segmento rettilineo;
-integrale doppio o triplo se D e` rispettivamente una superficie piana o un corpo solido;
-integrale curvilineo se D e` un fili sghembo;
-integrale superficiale se D e` una superficie gobba nello spazio.
Con le stesse premesse, si parla anche di Momento polare d`ordine h rispetto al polo C se,fissato il punto C ed indicata con d(P,C) la distanza di P da esso si scrive l`integrale:
Se h=2 si parlera
`semplicemente di Momento polare rispetto al polo C.
-Caso di un sistema continuo di punti.
Nelle stesse
condizioni di prima(assegnato un dominio D ,definita la funzione 
tale che ecc…)si definisce centro di massa o baricentro del dominio
D con densita`
il punto le cui coordinate sono :
, 
, 
.
Gli integrali di queste formule vanno intesi con l`avvertenza di prima: a seconda del dominio D quell`integrale puo` essere un integrale ordinario,o doppio o triplo od ancora superficiale o curvilineo.
Per il calcolo del centro di massa vale anche la proprieta` additiva per cui noti i centri di massa di piu` corpi,sara` noto anche quello del corpo risultante dall`assemblaggio dei medesimi.
Anche i teoremi di Guldino
costituiscono un`altra interessante applicazione dei baricentri al caso di una lamina
piana e di una curva piana.(Per una piu` approfondita analisi di essi si rimanda al
manuale di Analisi Matematica 2).
