Integrazione Numerica

• Formula dei trapezi
• Formula di Simpson (formula parabolica)

  Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo [a,b].
  Vogliamo calcolare il valore del suo integrale

  Nel caso in cui si conoscono una serie di punti (x_i,y_i) appartenentib alla funzione, ovvero sostituendo alla funzione da integrare una funzione interpolatrice che sia facilmente integrabile. Si ha la formula di quadratura (o di integrazione numerica):

dove compaiono i punti x_i della funzione(‘nodi’) e i coefficienti a_i (‘pesi’).
  I pesi devono soddisfare la condizione:

  Derivante dal fatto che se la formula di quadratura risulta caratterizzata da un grado di precisione
( per ogni intero  In(f)=I(f), per ogni f appartenente a Pr, con Pr spazio dei polinomi algebrici di grado  nella variabile x), si deve verificare che In(1)=I(1), le funzioni costanti devono essere integrate esattamente(da cui l’asserto).

  Le formule di Newton-Cotes costituiscono un caso notevole di formule di quadratura interpolatorie: si basano sul metodo interpolatorio semplice di Lagrange ( usa solo i valori di f e non quelli di f’, e sostituisce la funzione integranda con il suo polinomio semplice) e sfruttano nodi equispaziati nell’intervallo [a,b].
  Fissato il valore di n, si pone:
x_i=x₀+i*h con i=0,…,n;
abbiamo 2 casi (entrambi con grado di precisione n):

1) formula chiusa: x_o=a, x_n=b  h=(b-a)/n;

2) formula aperta: x_o=a+h, x_n=b-h  h=(b-a)/(n+2);

  Entrambi calcolano l’integrale di una funzione su un intervallo aperto x₀-x_(n+1), ma, mentre nel primo caso (formula chiusa) vengono valutati i valori che la funzione assume in corrispondenza dei bordi, nel secondo caso (formula aperta) si considerano i punti interni.
  Esempi notevoli delle formule di Newton_Cotes sono le formule del punto medio, dei trapezi e di Cavalieri_Simpson.
 
 
 

Formula dei trapezi

  Per il calcolo approssimato dell’integrale

con f(x) continua nell’intervallo chiuso a,b, bisogna innanzitutto dividere l’intervallo d’integrazione in n parti uguali e prendiamo per passo del calcolo h=(b-a)/n.
Poi si suppone che

siano ascisse dei punti di divisione e che  siano valori corrispondenti della funzione integranda y=f(x). Allora in base alla formula dei trapezi, si ha:

(1) e l’errore assoluto � dove  per .
  Per ottenere la precisione data e e calcolando un’integrale il passo del calcolo h si ricava dalla disuguaglianza

e

cio�, h deve aver l’ordine �e . Il valore cos� ottenuto di h viene arrotondato per difetto in maniera tale che

sia un numero intero, il che ci d� il numero di divisioni n. Avendo determinati h ed n in virt� della formula (1), calcoliamo l’integrale prendendo i valori della funzione integranda con uno o due decimali di riserva.
 

Esercizio

Formula di Simpson (formula parabolica)

  Se n � un numero pari, allora per le notazioni della formula dei trapezi � valida la formula dei trapezi

con l’errore assoluto

dove  per 
  Per ottenere la precisione data e calcolando un integrale il passo del calcolo h si ricava dalla disuguaglianza

cio� il passo h ha l’ordine (e ). Il numero h viene arrotondato verso diminuizione in maniera tale che  sia un numero intero pari.

Osservazioni

  In genere il calcolo di h risulta complicato perci� si sceglie un numero a vanvera poi, avendo ottenuto un risultato, il numero n viene raddoppiato, cio� il passo h si divide in due.
  Se il nuovo risultato coincide con quello precedente nei decimali conservati, il calcolo si ferma, altrimenti si ripete il procedimento.
  Inoltre per il calcolo approssimato dell’errore assoluto R della formula di Simpson si pu� anche utilizzare il principio di Runge secondo il quale

dove  e  sono i risultati dei calcoli secondo la formula di Simpson conformemente al passo h e H=2h.
 

• Metodo dei rettangoli : Consiste nel suddividere l’area sottostante la curva in tanti piccoli rettangoli e sommare le varie aree di questi. Se la funzione � continua (come noi abbiamo supposto ) il valore della somma di queste aree converge (al tendere del numero di questi sottointervalli a infinito) al valore dell’integrale esatto.

Esercizio
 

  Tralasciando di trattare il caso semplice, facciamo direttamente riferimento al caso composito (sostituendo l’interpolante semplice con quello composito).

  Dividiamo l’intervallo [a,b] in m sottointervalli [y_i,y_(i+1)] con: y_i=a+j*h, h=(b-a)/m, j=0,…,m
e utilizziamo in ogni sottointervallo una formula interpolatoria avente per nodi i punti:
x_k(i), K>=0&&k>=n
e per pesi i coefficienti: a_k(i), k>=0&&k<=n
  Quindi la formula interpolatoria sara’:

  E, in ogni sottointervallo usiamo la formula di Newton-Cotes con n+1 nodi equispaziati.

  Nel caso di integrali n-dimensionali si hanno problemi legati al fatto che il numero di funzioni di valutazione cresce con potenza n rispetto al caso unidimensionale, e il bordo n-1 dimensionale che definisce la regione di integrazione puo’ risultare complicato. Comunque ci possiamo riferire a casi nei quali questi problemi possono essere superati. E’ il caso della riduzione dimensionale dell’integrale degli ‘integrali iterati’ , nel quale:

  O delle funzioni con simmetrie particolari e regioni di integrazine simmetriche. Si puo’ inoltre ricorrere a metodi statistici (metodo montecarlo), o si puo’ spezzare l’integrale dato in somma di integrali definiti su domini di piu’ facile integrazione.
  Data una funzione a 3 variabili, definita quindi su uno spazio tridimensionale xyz, si ha:

dove la regione di integrazione e’ definita mediante i suoi limiti superiore e inferiore in x (x₁ e x₂), i limiti superiore e inferiore in y rispetto a un valore di x ( y₁(x) e y₂(x)), e i limiti superiore e inferiore in z rispetto ad un valore di x e y (z₁(x,y) e z₂(x,y)).